INTRODUÇÃO
Este
trabalho não trata acerca das soluções ou esquemas matemáticos que nos foram
deixados por Arquimedes, génio siracusano do séc. II A.C., e que foram muitos e
de vasto alcance, nem como resolver problemas levantados pela sua inquieta
mente, mas sim quais foram as motivações que o levaram a procurar encontrar a
unidade de medida de tudo quanto de material existe, tentando provar que até
mesmo uma personalidade como ele, que aparentemente tinha antes de tudo uma
preocupação do visível ou do abstracto mas no sentido de alimentar a mente
concreta (que só se preocupa em satisfazer a sua própria sede de conhecimento),
inadvertidamente ou não, se prestou a servir de veículo de transmissão a
conceitos extremamente importantes para o desenvolvimento do ciência dos
números, não só para os seus contemporâneos, mas para nós em pleno séc. XXI.
À semelhança
de Sócrates, que provavelmente não seria iniciado nos mistérios (não seguindo
aquilo que é comummente designado por via do discipulado), mas ainda assim
possuía uma sapiência e moral ímpares que o impeliam a se deixar levar
completamente pela tarefa de formar jovens, e verter a água do seu saber para
que pudessem brotar as flores de uma reforma ética e educacional, Arquimedes,
embora sem o sentido de instrução que imbuía Sócrates, e possuído por um “Daimon Matemático”, sente também a
necessidade de exteriorizar todos os números estáticos e em movimento na sua
cabeça, que de certa forma intui como sendo a base do manifestado, embora se deixe
enredar pela intricada teia gerada pela supracitada sede de saber mais e mais,
perdendo pelo caminho a noção de que, tal como a harmonia que percebemos por
trás de uma bela melodia e a representação desta nas notas numa pauta são duas
coisas distintas, os números ou os símbolos que os representam são diferentes
dos conceitos ou aspectos que lhes deram origem. Um número tem vida para além
da quantidade de objectos que representa, pois ele não é somente válido quando
aparece por associação. Por exemplo, o número 5 tem uma realidade para além dos
cinco livros que representa ou das cinco pombas, porque o que representa esse número
é uma entidade própria, um conceito para lá do conjunto que representa.
Porque se em
vez do algarismo “5” lhe tivesse sido atribuído um outro, continuaríamos a
perceber aquilo que caracteriza o símbolo, como se através dele nos chegasse a
corrente de energia vinda directamente do seu próprio arquétipo.
Necessitamos
de experimentar e de tocar em tudo antes de aprendermos que, o mais importante
é invisível aos olhos e, tal como diz Saint-Exupéry, o importante só se vê bem
com o coração (in “O Principezinho”).
Teremos de
pensar que, para aquelas gerações que nos seguirem, o que queremos deixar
quando representamos uma peça de arte, uma ideia, uma descoberta: é
provavelmente o momento exacto em que se atinge o clímax emocional e que dará a
abertura necessária para dar lugar na alma dessas pessoas àquilo que lhes
queríamos transmitir, como faziam os Gregos da época Clássica com a estatuária
e demais arte, que não só representando de forma magistral sentimentos,
pensamentos, davam a ideia do movimento da dinâmica necessária para atingir
esses momentos.
No seu
início a "Álgebra" correspondeu a um salto de abstracção matemática
em relação à Aritmética (pois lidava com coeficientes simbólicos, por oposição
a números concretos). Esta vocação original de abstracção ganhou grande impulso
desde o século XIX, e modernamente, a Álgebra consiste no estudo de estruturas
matemáticas abstractas e das relações entre essas estruturas. Alguns exemplos
importantes são os grupos (que abstraem as propriedades das simetrias de
figuras geométricas regulares, por exemplo), anéis (que abstraem as
propriedades dos números inteiros ou polinómios, por exemplo) ou corpos (que
abstraem as propriedades dos números racionais, reais e complexos, por
exemplo).
Hoje em dia,
surgem estruturas deste tipo em todas as áreas da matemática e alguns
desenvolvimentos importantes situam-se, para além da Teoria dos Números, também
na Geometria Algébrica e na Topologia Algébrica, as quais permitem entender
determinadas propriedades de espaços usando conceitos da Álgebra, Isto é para
representar, por exemplo um cubo, geometricamente o faríamos assim:
Mas para o representar
através de notação numérica, teríamos de nos valer de um certo grau de
abstracção e simbolizar o espaço tridimensional que, ocupa aquela figura
através de coordenadas precisas (x,y,z, dando a origem) que fizessem com que, o
cubo aparecesse na nossa cabeça sem ser necessário desenhá-lo, e isto é engenhoso
porque nos permite percepcionar uma realidade que, para nós só existe de forma
virtual, que é o mesmo que dizer mental, baseando-nos nas tradições que dizem
que o Universo é mental, porque nasceu de uma inteligência superior que se
baseou em esquemas geométricos para criar o mundo manifestado.
GEOMETRIA
A área da Matemática
designada por Geometria dedica-se ao estudo de relações espaciais e de formas
de corpos. É uma das disciplinas mais antigas da Matemática, havendo registo de
considerações para determinação de áreas já desde a Babilónia. No entanto,
foram os Gregos que deram, quer à Geometria, quer à Matemática uma contribuição
fundamental ao introduzir justificações cuidadas, a partir de postulados, das
propriedades geométricas que estabeleceram. Estas propriedades referiam-se a
relações entre ângulos e proporcionalidade de lados de figuras geométricas, à
construção destas figuras e à expressão de áreas e volumes. A contribuição
grega para a geometria encontra-se expressa nos 13 livros que constituem os
Elementos de Euclides. Mais uma vez sublinha-se, que a contribuição fundamental
grega consiste na forma sistemática como a Matemática é abordada, havendo
cuidado em definir conceitos e em estabelecer propriedades a partir de
postulados.
A descoberta no século
XIX de que, a geometria euclidiana não era a única concebível, o estudo de
outras geometrias e a caracterização do espaço-tempo do mundo físico por uma
geometria diferente da geometria euclidiana, teve um impacto profundo no mundo
científico. No contexto da Geometria levou à caracterização lógica das
geometrias, ao estudo de "espaços" mais gerais e mais abstractos (mas
com aplicação, por exemplo, em Física Teórica) e, também, à caracterização de
geometrias e figuras geométricas em termos algébricos (usando Teoria de Grupos).
MOTIVAÇÕES
A abelha constrói seus
alvéolos com a forma de prismas hexagonais e adopta essa forma geométrica,
segundo penso, para obter a sua casa com a maior economia possível de material.
A geometria existe, por toda parte. É preciso, porém, olhos para vê-la,
inteligência para compreende-la e alma para admira-la.
Para aqueles que,
possuíam um conhecimento mais profundo sobre a verdadeira essência dos números,
estes detinham em si um significado oculto e, mais importante do que a sua
racionalização, entender o que realmente simbolizavam era uma tarefa de maior
relevância.
Pitágoras (que utilizou
o termo mathema “fazer ciência” para
descrever os seus estudos no campo da figuração numérica) diz a este respeito
que as coisas são números e não magnitudes geométricas, afirmava que aquelas só
o são enquanto números cujas propriedades estão ligadas aos destas.
Não distinguia entre
corpo físico e corpo geométrico (associando determinadas figuras a estados de aperfeiçoamento,
como por exemplo o Sol, que detinha uma forma arredondada por esta ser
geometricamente exemplar) e portanto a forma é a figura do número e o corpo são
o conjunto de pontos que em conjunto formam aparências belas.
Penso verdadeiramente
que Arquimedes ainda se encontrava preso da racionalização dos conceitos
matemáticos, embora tendesse para uma abstracção que, era mais de preenchimento
das ideias num plano concreto, ou como entretenimento dos sentidos só para
provar quão longe pode ir esta racionalização e não tanto para encontrar a Unidade
que é deveras a Alma do universo como defendiam Pitágoras e Platão.
Não é do conhecimento
público qualquer obra de Arquimedes acerca das sua invenções ou máquinas por
ele inventadas, e, a verdade é que não nos chegaram até nós provas de que tenha
escrito algo sobre isso, levando-nos a pensar que estes grandes empreendimentos
serviriam unicamente como maneiras de comprovar os conceitos abstractos que
tanto gostava de estudar, como o pode provar uma passagem da sua obra Da
Quadratura da Parábola: …”teorema de que
ninguém se ocupou até agora e que quis examinar. O descobri primeiramente
através de considerações mecânicas e depois por raciocínio geométrico.”
Segundo Plutarco (Obra e
Vida de Marcelo) Arquimedes teria construído máquinas de guerra de uma tal
magnitude que, com pouca intervenção de parte de quem as manejava, estas
criavam uma onda de destruição, ao ponto de devastar uma grande parte da frota
com que, os romanos pretendiam sitiar Siracusa (cidade natal de Arquimedes e na
qual vivia à altura do pretenso ataque). Mas a não ser por estes relatos
externos, nenhuma referência a isto nos foi deixada por Arquimedes, o que pode
provar que, para este, esses mecanismos corromperiam e eram indignos do real
objectivo do estudo da geometria.
Outro exemplo, é o chamado mecanismo
de Antikythera, descoberto no princípio do séc. XX e que hoje sabe-se ser um
instrumento que teria servido para medição ou cálculos astronómicos, um pouco
no seguimento do Planetário construído por Arquimedes e ao qual se atribui a
hipotética construção.
Uma das maiores provas de que
Arquimedes partia de princípios que, provinham de arquétipos ou modelos superiores
que intuía de alguma forma, é que partia de axiomas, como o fez Euclides para
formular a sua obra Elementos e que é a forma lógica usada em Matemática para
basear todas as teorias posteriores, para conseguir saber qual o volume de um
sólido composto por uma superfície curva como se vê na figura, dando o conceito
de que dentro de esse mesmo sólido podem existir um número infinito de planos,
que reduzidos a uma constante e sabendo a sua área nos fornecem o resultado do
seu volume. 
Por exemplo, para um cone, só necessitamos
de traçar um triângulo com a mesma base e a mesma altura do cone e realizar um
movimento de rotação com este para obtermos o dito sólido, e medirmos o seu
volume, e, adaptando este resultado e tendo em consideração as forças na
natureza que actuam sobre um corpo com esta forma no mundo concreto, não haveria
limites para a automatização de processos mecânicos, ciência que Arquimedes
teria dominado e que Leonardo da Vinci também elevou a uma escala de grandeza
extraordinária.
Partindo do que se
denomina de um triângulo gerador que se reflecte, cria uma figura geométrica, à
semelhança dos sólidos platónicos, mas sem a perfeição destes, pois já não são
regulares (todos os segmentos que os compõe são iguais), pois na realidade
trunca ou suprime uma das suas partes para formar um poliedro não regular e por
conseguinte menos perfeito, é levado a conceber uma forma de representar o
infinito não impalpável, mas sim como uma forma de circunscrever o finito e o
que levou também aos matemáticos a quem se deve a Geometria não Euclidiana a perceber que fora de um plano é possível que
uma recta tenha uma quantidade infindável de rectas paralelas a esta que passem
unicamente por um ponto fora desta, concebendo um Universo curvo, base da
teoria da relatividade de Einstein:
CONCLUSÃO
Arquimedes lançou as
bases para o cálculo integral, a hidrostática, determinou o centro de gravidade
do segmento parabólico, estabeleceu o conceito rigoroso de momento estático,
calculou a área e volume de corpos delimitados por superfícies curvas e deixou
todo um horizonte à descoberta de todos quantos quisessem prosseguir o seu caminho,
como de resto nos diz no início da sua obra O Método, supostamente perdida
durante séculos e recuperada no início do séc. XX: “… para que não se creia que disse palavra vãs e porque estou igualmente
persuadido de que farei um não pequeno serviço aos Matemáticos, pois compreendo
que alguns dos meus contemporâneos ou sucessores poderá por através do método,
uma vez que o explique, descobrir outros teoremas que eu não encontrei ainda”.
O seu trabalho com o volume
das esferas possibilitou aos cientistas que apareceram depois dele calcular o
peso do sol, da Terra e da Lua, os seus diâmetros e as distâncias em termos de
órbitas.
A sua obra e as
conclusões que nos deixou são vitais, embora à sua linha de pensamento deve ser
acrescentado uma idealização geométrica mais do tipo filosófico, visto que uma
coisa é o que entendemos por numeração e outra é a relação que os símbolos que
a representam têm entre si, para formar um todo (como um puzzle).
O conceito de infinito
que nos deixou na obra Arenário remete-nos para Giordano Bruno, filósofo
esquecido do renascimento e do seu Universo infinito, com sua consequente
infinita quantidade de mundos e grãos de areia nas praias destes mesmos.
Se diz que morreu às
mãos de um soldado Romano, pedindo que este o deixasse acabar a reflexão sobre
o problema em que estava envolvido, tal como uma criança pediria à mãe para o
deixar brincar só mais um pouco antes de tomar banho e ir para a cama.
Daniel
Oliveira
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